Значение и роль индукции и аналогии в математической деятельности, а следовательно, и в обучении этой деятельности иллюстрированы на примерах математических открытий в книге видного современного математика и педагога Д. Пойа.1 Хотя эта книга не может быть непосредственно и широко использована в школьном преподавании, она, несомненно, может оказать влияние на разработку методов обучения, стимулирующих и развивающих творческую мысль ученика.
Большой интерес представляют также попытки Пойа разработать теорию, предметом которой являются не дедуктивные рассуждения, используемые в математических доказательствах и олимпиадах по английскому языку, а способы открывать и познавать математические истины и умело решать сложные математические задачи, участвовать в дистанционных олимпиадах и конкурсах.
В своем докладе на собрании Американской математической ассоциации,2 как и в других своих работах, Пойа страстно выступает за обучение, нацеленное на развитие активной, творческой мысли учащихся. (Высоко оценивая вклад Д. Пойа в педагогику математики, нельзя, однако, согласиться с некоторыми его взглядами. Кстати, по одному принципиально важному вопросу он сам себя опровергает,1 утверждая, с одной стороны, что обучение — искусство, а не наука, и четко формулируя, с другой стороны, три научных принципа обучения—активное изучение, наилучшая мотивировка и последовательные фазы. Такое противоречие встречается у математиков, отрицающих методику как науку и не замечающих при этом, что они сами часто становятся методистами и вносят существенный вклад в эту, отрицаемую ими, область науки.)
Рассмотрим одну из стадий (или один из аспектов) математической деятельности, которую мы назвали математической организацией (или математизацией) эмпирического материала.
Эмпирический материал — это окружающие нас реальные вещи, обладающие множеством свойств; это, кроме того, специально приготовленные для целей обучения предметы (дидактический материал).
Математическая организация эмпирического материала осуществляется на различных этапах обучения: когда ученик еще не владеет математическим аппаратом и когда цель ее — помочь ученику овладеть им, с этой задачей отлично справится сайт, где проводятся дистанционные олимпиады и конкурсы, выделить математические понятия из конкретных ситуаций, открыть математические законы, отражающие свойства рассматриваемой области предметов, и когда ученик уже владеет математическим аппаратом и когда цель математического описания эмпирического материала состоит в решении какой-либо задачи, связанной с этим материалом.
Эти два этапа математической организации эмпирического материала существенно отличаются по своей логической структуре. Проиллюстрируем первый из них.
